Высшая математика. Кратные интегралы. Теория и задачи


А.А. Туганбаев




ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Теория и задачи


Учебник






Москва Издательство «ФЛИНТА» 2019

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73
      Т81







            Туганбаев А.А.


Т81         Высшая математика. Кратные интегралы. Теория и задачи
     [Электронный ресурс] : учебник / А.А. Туганбаев. — М. : ФЛИНТА, 2019. — 123 с.

     ISBN 978-5-9765-4252-5

     Книга соответствует программам курсов высшей математики для студентов различных нематематических специальностей и может выполнять функции учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий по важнейшим темам высшей математики: двойные и тройные интегралы, замена переменных в двойном и тройном интегралах, двойные интегралы в полярных и обобщенных полярных координатах, тройные интегралы в цилиндрических, сферических и обобщенных сферических координатах, вычисление объемов, физические приложения двойных и тройных интегралов.
     Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших учебных заведений.

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73









ISBN 978-5-9765-4252-5

                © Туганбаев А.А., 2019
                                        © Издательство «ФЛИНТА», 2019

           Содержание

           1 Двойные интегралы                                     4
             1.1  Общие свойства двойных интегралов............... 4
             1.2  Двойной интеграл в декартовых координатах....... 6
             1.3  Замена переменных в двойном интеграле.......... 13
             1.4  Двойной интеграл в полярных координатах........ 16
             1.5  Двойной интеграл в обобщенных полярных координатах . 25
             1.6  Физические приложения двойных интегралов........28

           2 Тройные интегралы                                    35
             2.1  Общие свойства тройных интегралов...............35
             2.2  Тройной интеграл в декартовых координатах.......38
             2.3  Замена переменных в тройном интеграле...........47
             2.4  Цилиндрические и сферические координаты.........52
             2.5  Обобщенные сферические координаты...............58
             2.6  Вычисление объемов..............................61
             2.7  Физические приложения тройных интегралов........62

           3 Задачи по кратным интегралам                         69
             3.1  Задачи с краткими решениями.....................69
             3.2  Задачи с ответами...............................84
             3.3  Контрольные задания.............................89

3

Двойные интегралы



            1.1 Общие свойства двойных интегралов



             1.1.1. Разбиения области и интегральные суммы.

             Пусть D - квадрируемая (т.е. имеющая конечную площадь), ограниченная область на плоскости и пусть в области D определена ограниченная функция, ее значения в произвольной точке M из D обозначим f (M) (или f (x,y), если точка M имеет декартовы координаты x,y).
             Разобьем область D на n квадрируемых непересекающихся частей Dₖ с площадями △ Sₖ, k = 1,... ,n. В каждой частичной области Dₖ про-n
             извольно выберем точку Mₖ и составим сумму f^f (Mₖ )△ Sₖ. k =1
             Эта сумма называется интегральной суммой для функции f (M) по данному разбиению области D на части Dₖ и данному выбору промежуточных точек Mₖ.
             Число dₖ, равное точной верхи ей грани расстояний р (P, Q) между произвольными точками P и Q этой области, называется диаметром частичной области Dₖ, dₖ = sup р(P, Q).
                                    P,QEDk
             Число d = max называется диаметром разбиения.
                      1 <k<n

             1.1.2. Определение двойного интеграла.

             Число I называется двойным интегралом от функции f (M) по области D, если для любого числа £ > 0, найдется такое число д > 0, что
n
I - X f (Mk)△ Sk k=1
             для любого разбиения области D с диаметром d < д при любом выборе точек Mₖ.
             При этом функцию f (M) называют интегрируемой на D, а двойной интеграл I записывают в виде I = jf f (M)ds, при этом часто пишут
D

n
f f f (M)ds = lim X f (Mk)△ Sk, D               k=1

             хотя выражение в правой части и не является пределом в обычном, рассматривавшемся ранее смысле, так как зависит от разбиения области D на малые области Dₖ и от выбора точек Mₖ внутри Dₖ.

4

В декартовой системе координат Oxy часто записывают ds = dxdy -

ч⁽M)dV=#

элемент площади и

f (M) dx dy,

в самом обозначении

D

D

подчеркивая происхождение интегральной суммы от деления области D

на части прямыми, параллельными координатным прямым.


        1.1.3. Теорема о достаточных условиях интегрируемости.

Пусть функция f (M) определена хотя бы на замкнутой (т.е. содержащей свою границу) ограниченной квадрируемой области D.
Если f (M) либо непрерывна на D, либо имеет в D конечное точек разрыва и ограничена на D, то f (M) интегрируема в этой области D.
Теорема 1.1.3 приводится без доказательства.

        1.1.4. Свойства двойных интегралов.

Двойные интегралы обладают рядом свойств, аналогичных свойствам определенного интеграла от функции одной независимой переменной.
1. Линейность. Если функции f (M) и g(M) интегрируемы в области D и а, в - постоянные числа, то функция af(M) + fig(M) тоже интегрируема в D и


        JJ[a f (M) + в g(M)]ds = а
        D


уу f ( m )+в D

У*g g(M)ds.
D

D Аддитивность. Если область D - объединение двух областей D₁ и D2, в каждой из которых функция интегрируема, то в области D функция также интегрируема. Если D 1 и D2 не имеют общих внутренних

точек, то

         Ч ⁽M⁾ ds=/f ⁽M Ч!
         D      D i   D 2


f ( M ) ds.

3. Монотонность. Если функции f (M) и g(M) интегрируемы в области D f f (M) < g (M) для люб ой точки M е D, то

/У ⁽M⁾ ds <//

DD

g (M) ds.

f. Оценка по модулю. Если функция f (M) интегрируема в области D, то функция \f (M) | также интегрируема в D и

/У ⁽M⁾ ds у/

If (M)\ds.

D

D

5

5. Оценка интеграла. Если функция f (M) в области D интегрируема а А < f (M) < Б, то


AS < У f f (M) d

                                   s < BS.



D

где S - площадь области D.
в. Теорема о среднем значении. Если функция f (M) непрерывна в квадрируемой, замкнутой, связной, ограниченной области D площади S, то в D существует такая точка Mо, что ff f (M)ds = f (Mо)S.
                                D
7. Площадь как двойной интеграл. Если S - площадь области D и f (M) = 1, то УУ"1 dV = Ц^ ds = S.
          DD
8. Масса пластины как двойной интеграл. Если M масса бесконечно тонкой пластины D и ц = ц (M) > 0 - поверхностная плотность распределения массы в пластине D, то jj ds = M.
                             D



            1.2 Двойной интеграл в декартовых координатах



        1.2.1. Двойные и повторные интегралы по простым областям.

Пусть на плоскости П введена декартова система координат Oxy.
Область D н а П называется про стой вдоль оси Oy, если существуют такие непрерывные на отрезке [a, b] С Ox функции y = y ₁ (x) и y = у2 (x), что область D является множеством всех таких точек (x; y) G П, для которых a < x < b и y 1(x) < y < y₂(x) (см. левую часть рис. 1.2.1). Повторным интегралом по такой области D называется число

I =

b   У2(X)
У dx У f (x,y)dy =
a    У1(x)

b y2(x)




                I Z





f⁽x,y)dy

dx

(1.2.1(1))

У 1⁽ x)

/    dF (x,y)         \
Пусть F (x, y) - первооб разная от f (x, y) и о y I т.е. —& = f (x, y) I). При вычислении I сначала находим внутренний интеграл, временно считая переменную x постоянной:

У 2⁽ x')
f f ⁽x,y)dy = F⁽x,y)
У1 (x)

У 2⁽ x)
      = F(x,y2(x)) - F(x, yi(x)) = G(x).
У 1⁽ x)

6

Затем находим I =

b
G G(x)dx.

a

Область D на пло скости П называется про стой вдоль оси Ox, если существуют такие непрерывные на отрезке [c, d] С Oy функции x = x ₁(у) их = x ₂( у), что о бласть D является множеством всех таких точек (x; у) е И,для которых c < у < dux ₁(у) < x < x₂(у) (см. правую часть рис. 1.2.1). Повторным интегралом по такой области D называется число

I=

d X2(у)




                / * I




c   X1(у)

f (x-у)d

d    X2 (у)

c X1 (у)

f (x, у)dx

Пусть F (x, у) - первооб разная от f (x, у) и о x

т.е.

dv

(1.2.1(2))

dF (x^) dx

= f (x/у))).

При вычислении I сначала находим внутренний интеграл, временно

считая переменную у постоянной:

X2 (у)
  У f (x, у)dx = F(x^)
X1 (у)

     = F(x2(у),у) - F(xi(у),у)= H(у).
X1(y)

                    d
Затем находим I = j H (у) d/у.
                   c


        1.2.2. Теорема о вычислении двойных интегралов через повторные интегралы.

Пусть функция f (x,p) интегрируеьia в области D С Oxy.

1. Если D = {(x; у)): a < x < b, у ₁(x) < у < у₂(x)}, где функции у ₁(x) и у₂(x) непрерывны на отрезке [a,b] и при каждом x е [a,b] су-

ществует интеграл

y2(X)
У f (x, у) dp, то существует также повторный инте-

грал (1.2.1(1)), причем

                                         b   y2(X)
II f (M)ds = Уf f (x/у)dx dy = J'dx J f (x/у)dy                     (1.2.2(1))

a У1(x)

D Если D = {(x;у)): c < у < d, xi(у) < x < x2(у)}, где футпщии xi(у) и x₂( e) непрерывны на отрезке [c, s] и при каждом у е [c,d] существу-

x = / I

у 1⁽ x)

D           D

7

ет интеграл

(1.2.1(2)), причем

x 2( У ) f f(x,y)dx,
x 1( У)

то существует также повторный интеграл

                                                d    x2(y)
       Ц f (M)ds = 1f f (x,y)dxdy = I dy I f (x,y)dx                       (1.2.2(2))



D           D

c x 1 ( У )

Выражение ds = dx dy называется элементом площади в декартовых координатах, подчеркивая тем самым факт, что области D разбивается на частичные области сетью прямых, параллельных осям координат.

1.2.3. Области более сложной формы часто можно разбить горизонтальными и вертикальными прямыми на конечное число частей указанных типов, к которым применимы формулы 1.2.2(1)) или 1.2.2(2)).


1.2.4. Пример. Вычислить двумя способами ничена линиями x + 2y — 2 = 0, x = 0, y = 0.

If xydxdy. если D огра-
D

C D - треугольник с вершинами (0; 0), (2; 0) и (0; 1); см. рис. 1.2.4(a).

Представим D в

виде D = <(x; y): 0 < x < 2, 0 < y < 2

8

(см. рис. 1.2.4(G)). По формуле (1.2.2(1))

lfadX=' = D

2   1 -х/2

xy

2 dy=/ 0

y=1 -x/2
        dx =
y=0

 2
¹ /x (1 — 0

0        0

dx

2
1 Xх² x³ x⁴\               1
2 \ "2" ⁻ T + 16)      =6 ■
0

h /

у у x 2

Изменим порядок интегрирования. Представим D в виде D = {(x; у): 0 < у < 1, 0 < x < 2 — 2у}-, см. рис. 1.2.4(b). По формуле (1.2.2(2)) получим тот же результат

             1  2-2y
fy xy dx dy = J dy J xy dx D           0    0


        ¹ x²

=.ly
  0

x=2-2y

dy =
x=0

1₂ = ¹ J y⁽⁴ — ⁸y + ⁴y²) dy = ² (^
              0



1
0

2y³ , y4
3+4

1
■ B
6



1.2.5. Пример. Вычислить двумя способами

ничена линиями x² — y = 0 и x — y + 2 = 0.

Jfx.U^eDD^ D

C Построим данные линии и найдем точки их пересечения (—1; 1) и (2; 4); см. рис. 1.2.5(а). Представим D в виде D = {(x; y): — 1 < x < 2, x² < y < x + 2}; см. рис. 1.2.5(6):


рис. 1.2.5(a)             рис. 1.2.5(6)            рис. 1.2.5(b)

9

По формуле (1.2.2(1))

УУ xy dx dy
D

2   ++2          2
= J' dx j xy dy = j

y=++2
      dx =

   1 f ,,     „.₂    ₄. ,     1 xx⁴ 4x³ ₂ ₂ x¥
= ₂ J x⁽⁽x + ²⁾² - x⁴⁾ dx = 2        ⁺ T ⁺ ²x ⁻ ¥j
    -1

45
¥'

Изменим порядок интегрирования. Хотя область D - простая в направлении оси Ох, но непосредственно применить формулу ((1.2.2(2)) нель-

зя, поскольку левая граница состоит из двух участков, которые имеют

различные уравнения (см. рис. 1.2.5(b): x ₁(y) =

y-2

при0 < y < 1, при 1 < y < 1.

y² x—
2

-1

2 x2

-1

y = 2 ²

1

I

	

Разобьем область D горизонтальной прямой y = 1 на области D 1 и D₂

и используем аддитивность интеграла:

1  уу
xy xy dx dy = У^xddddy \J^xddxdy = У dy У xy dx+

⁻ Vv

4  dv
Idy Z

xy dx =

y-

D 2

   2 x

        4
x² dy + y у
1

2 = \У
      dy =
x=y-2

D              D1

+

1

1 Z о

о

  14                4
= У y • 0 dy + 2 У y(y - (y - 2)²) dy =2 ^y^- - у - 2y²) о1                  ¹



45
¥. B

Ясно, что в этом примере первый способ вычисления проще второго. B


1.2.6. Пример. Вычислить двумя способами


yy xy dx dy,

                                          D
D ограничена линиями x² + y² - 2y = 0 xx + y = 0 (x + y > 0).

C Построим данные линии. Первая из них окружность, поскольку уравнение x² + y² - 2 y = 0 равносилья о уравнению x² + (y -1)² = 1. Подставив x = -y в уравнение x² + y² - 2y = 0, найдем точки пересечения (-1; 1) и (0;0); см. рис. 1.2.6(a).


10

рис. 1.2.6(a)

рис. 1.2.6(6)

рис. 1.2.6(b)

Если сначала интегрировать по у, а затем по x, то надо разбивать D на две области вертикальной прямой x = 0; см. рис. 1.2.6(6). Тогда

0 и
-1

1 + V 1 -x ²

xydy +

1

  dx

xydy =

/

1 + V 1 — x ²

/

D

— x

                                       ⁰    1—V1—x ²

1
2

= 2 I x((1 + P—x2)²
   —1

— x²) dx+

     0
+ 2 I x((1 + p1 — x²)²
    —1

— (1 — a/1 — x²)²) dx



x ⁴
I"

2(1 — x²)³ /² 3

2(1 — x ²)³ / ²

—1





3

1

12 ’ B

Если изменить порядок интегрирования, то надо разбивать D на две области горизонтальной прямой y = 1; см. рис. 1.2.6(b). Тогда

V 2 У—У²





                1 !hdxdv=/





xy dx

—У

2

dy +
      1

V 2 y—у У-
Z
— V 2 У—У ²

xy dx

dy =

D

0

/

  12
 = 1 L(2y — y²) dy + 1 [у . 0dx =1 Ct — y22
  ² J ² J ² \ ³ ² J
  01

1
0

1
.
12

11