Высшая математика. Основы линейной алгебры. Теория и задачи


Национальный исследовательский университет МЭИ
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова



А.А. Туганбаев




            ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА


Основы линейной алгебры



Теория и задачи



    Учебник











Москва Издательство «ФЛИНТА» 2019

УДК 512.64(075.8)
ББК 22.143я73
     Т81











    Туганбаев А.А.
Т81 Высшая математика. Основы линейной алгебры. Теория и задачи [Электронный ресурс] : учебник / А.А. Туганбаев. — М.: ФЛИНТА, 2019. — 186 с.

       ISBN 978-5-9765-4032-3

        Книга соответствует программам курсов высшей математики для студентов различных нематематических специальностей и может выполнять функции учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий по важнейшим темам линейной алгебры и аналитической геометрии: матрицы, определители, системы линейных уравнений, прямые и плоскости, кривые и поверхности второго порядка, линейные пространства и линейные операторы.
        Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших учебных заведений.
УДК 512.64(075.8)
ББК 22.143я73






ISBN 978-5-9765-4032-3

         © Туганбаев А.А., 2019
© Издательство «ФЛИНТА», 2019

Оглавление


 1. Матрицы, линейные уравнения и определители.........4
 1.1. Группы, поля, пространства F n и (F n)T..........4
 1.2. Матрицы и операции над ними.....................13
 1.3. Системы линейных уравнений......................20
 1.4. Определители....................................27
 1.5. Обратная матрица. Матричные уравнения...........36

 2. Линейные пространства и линейные операторы........39
 2.1. Линейные пространства и ранг матрицы............39
 2.2. Линейные операторы и их матрицы.................48
 2.3. Собственные векторы и собственные значения......54
 2.4. Евклидовы пространства..........................55

 3. Элементы аналитической геометрии..................59
 3.1. Геометрические векторы..........................59
 3.2. Прямые в пространстве...........................76
 3.3. Прямые на плоскости.............................80
 3.4. Плоскости.......................................86
 3.5. Кривые на плоскости.............................93
 3.6. Важнейшие поверхности..........................115

 4. Задачи...........................................126
 4.1. Задачи с краткими решениями................... 126
 4.2. Задачи с ответами............................. 143
 4.3. Контрольные задания........................... 165


3

Матрицы, определители и линейные уравнения


В данной книге F обозначает некоторое поле, где лежат скалярные элементы рассматриваемых объектов: определителей, матриц, коэффициентов линейных уравнений. Определение поля приведено в 1.1.5.
Заметим, что почти повсюду в данной книге читатели вполне могут обойтись наиболее важным и простым случаем, когда поле F - это множество R всех действительных чисел с обычными арифметическими операциями. Такие читатели могут пропустить подразделы 1.1.2-1.1.5 ________ _______1 при первом чтении.
Элементы поля F называются скалярами; в случае F = R скаляры -это обычные числа. Мы пока только заметим, что любое поле F содержит нулевой элемент 0 и ненулевой единичный элемент 1 и для произвольных элементов a,b G F определены операции "суммы" a + b и "произведения"ab, причем эти "сумма"и "произведение"удовлетворяют определенным аксиомам, которым удовлетворяют обычные операции сложения и умножения во множестве R. Для любого ненулевого элемента b G F определен обратный элемент по умножению b⁻ 1, и определено деление | любого элемента a G F на ненулевой элемент b как произведение ab⁻ 1. Во многих случаях различные алгебраические объекты из данной книги содержат скаляры из поля F, которые, как было отмечено, могут рассматриваться читателями просто как обычные числа.



    1.1   Группы, поля, пространства Fⁿ и (Fⁿ)T

1.1.1. Числовые множества.
Через R, N, Z, Q обозначаются множества всех действительных чисел, всех натуральных чисел n = 1, 2,..., всех целых чисел z = 0, ± 1, ±2,... и всех рациональных чисел m/n, где m G Z и n G N.
1.1.2. Комплексные числа.
Комплексными числами называются пары действительных чисел z = (a, b) с операциями сложения и умножения

(ai ,bi) + (a2 ,b2) = (a 1 + a2 ,b 1 + b2), (a 1 ,bi)(a2 ,b2 = (a 1 a2 - b 1 b2 ,a 1 b2 + a2b 1).
                                                        1.1.2(1) Множество всех комплексных чисел обозначается через C. Отождествим число a G R с па рой (a, 0). Из 1.1.2(1) видно, что при этом отождествлении сумма переходит в сумму, а произведение - в произведение.

  ¹ Автор благодарен И.В.Стаценко за многочисленные полезные замечания.


4

Поэтому R С C. В дальнейшем мы будем отождествлять комплексное число (а, 0) с действительным числом а.
Положим i = (0,1). Из 1.1.2(1) следует, что i² = (-1, 0) = -1. Кроме того, (a, b) = а+bi. Такое представление комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа.
Комплексное число z = а — bi называется комплексно сопряженным к z.
Модулем комплексного числа z = а + bi называется неотрицательное действительное число \z\ = а а² + b¹².
Ниже через z, z 1, z₂ и z₃ обозначаются произвольные комплексные числа. С помощью 1.1.2(1) непосредственно проверяются приведенные ниже свойства 1.1.2(2)-1.1.2(6) комплексным чисел.

z 1 z2 = z1 z2, z 1 + z2 = z1 + z2 •               1 • 1 • 2(2)

Умножение комплексных чисел коммутативно и ассоциативно, т.е.,

z 1 z 2 = z 2 z 1, (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3) • 1 • 1 • 2(3)

Модуль произведения комплексных чисел - произведение их модулей:

\z 1 z 2 \ = \z 1 \\z 21,        1 • 1 • 2(4)

Для любого комплексного числа z имеем

zz = \z\², в частности z = 0 ■& \z\ = 0•      1 • 1 • 2(5)

Для любого ненулевого комплексного числа z существует обратное чис-                     -1    1
ло, т.е. если обозначим z = —zz. то
\z\²

zz ¹ = z⁻¹ z = 1 •               1 • 1 • 2(6)

1.1.3. Аддитивные и мультипликативные моноиды.
Пусть A - некоторое непустое множество, в котором выделен некоторый элемент 0A, называемый нулем или нулевым элементом,² и для любых элементов а,Ь е A определен некоторый элемент из A, обозначаемый через а + b и называемый суммой элементов а и b. Множество A или, точнее, набор (A, +, 0A,) называется (аддитивным) моноидом, если в A выполняются указанные ниже аксиомы Ml и М2.
Ml.   (а + b) + c = а + (b + c) для любых элементов а, b, c е A.
М2. а = а + 0A = 0A + а для любого элемента а е A.


   ² По приведенному ниже свойству 4 нулевой элемент аддитивного моноида является единственным.

5

Часто также используются не адаптивные, а мультипликативные моноиды A, в которых вместо нулевого элемента 0A выделен единичный элемент 1А,³ для любых элементов a,b G A определен некоторый единственный элемент из A, обозначаемый через a • b (или просто ab) и называемый произведением элементов а и b, причем в A выполняются указанные ниже аксиомы Ml’ и М2’, фактически являющиеся аксиомами Ml и М2, записанными в другой (мультипликативной) форме. Множество A или, точи ее, набор (A, •, 1А,) назыв ается (мультипликативным) моноидом, если в A выполняются указанные ниже аксиомы Ml и М2.
Ml’. (а • b) • c = а • (b • c) для любых элементов a, b, c G A.
М2’. a = a • 1A = 1A • a для любого элемента a G A.
Ясно, что любым свойствам аддитивных моноидов соответствуют аналогичные свойства мультипликативных моноидов и наоборот. Поэтому свойства моноидов достаточно доказывать только для аддитивного или мультипликативного случая.
Аддитивный (соотв., мультипликативный) моноид называется коммутативным, если вдобавог к аксиомам Ml и М2 (соотв., Ml’ и М2’) выполнена аксиома М3 (соотв., М3’).
М3. a + b = b + a для любых элементов a,b G A.
М3’. a • b = b • a для любых элементов a,b G A.
1. Из хорошо известных свойств чисел следует, что упомянутые в 1.1.1 числовые множества R, Z, Q и множество Z>о всех неотрицательных целых чисел являются как аддитивными моноидами относительно обычного числового сложения, так и мультипликативными моноидами относительно обычного числового умножения.
2. Множество всех натуральных чисел N является мультипликативным моноидом относительно обычного умножения, но не является аддитивным моноидом относительно обычного сложения, поскольку не содержит нуля.
3. Множество Z<₀ всех отрицательных целых чисел не является ни аддитивным моноидом относительно обычного числового сложения (поскольку не содержит нуля), ни мультипликативным моноидом относительно обычного числового умножения (поскольку, например, произведение (—1)( — 1)) не содержится в Z<₀).
4. Нулевой (соотв., единичный) элемент аддитивного (соотв., мультипликативного) моноида A является единственным, т.е., если, например, 0 A и 0 A - два нулевых элемент а аддитивного моноида A, то из аксиомы

   ³По приведенному ниже свойству 4 единичный элемент мультипликативного моноида является единственным.

6

М2 следует, что 0A = 0'A + 0A = 0A + 0'A = 0A.
1.1.4. Группы.
Аддитивный моноид A называется (аддитивной) группой, если для любого элемента a е A задан некоторый элемент из A, обозначаемый через —а и называемый противоположным к а элементом, причем вдобавок к аксиомам Ml и М2 выполнена аксиома Г1.
Г1. а + (—а) = (—а) + а = 0A для любого элемента а е A.
Аналогично, мультипликативный моноид A называется (мультипликативной) группой, если для любого элемента а е A задан некоторый элемент из A, обозначаемый через а-¹ и называемый обратным к а элементом, причем вдобавок к аксиомам Ml’ и М2’ выполнена аксиома ГГ.
Г1’. а • а-¹ = а-¹ • а = 1A для любого элемента а е A.
Аддитивная (соотв., мультипликативная) группа A называется коммутативной или абелевой группой, если A - коммутативный аддитивный (соотв., мультипликативный) моноид.
Итак, аддитивная абелева группа - это непустое множество A, где в A выделен единственный нулевой элемент 0A, для любого элемента а е A задан единственный противоположный элемент —а из A, для любых элементов а,Ь е A определен единственный элемент а + Ь е A, называемый суммой элементов а и Ь, причем выполняются указанные ниже аксиомы АГ1-АГ4.
АГ1. а = а + 0A =0A + а для любого элемента а е A.
АГ2. (а + Ь) + c = а + (Ь + c) для любых элементов а, b, c е A.
АГЗ. а + (—а) = (—а) + а = 0A для любого элемента а е A.
АГ4. а + Ь = Ь + а для любых элементов а,Ь е A.
Аналогично, мультипликативная абелева группа - это непустое множество A, где в A выделен единственный единичный элемент 1A, для любого элемента а е A задан единственный обратный элемент а-¹ из A, для любых элементов а,Ь е A определен единственный элемент а • Ь е A (или просто аЬ е A), называемый произведением элементов а и Ь, причем выполняются указанные ниже аксиомы АГГ-АГ4’.
АГ1’.   а = а • 1A = 1A • а для любого элемента а е A.
АГ2’.   (а • Ь) • c = а • (Ь • c) для любых элементов а, Ь, c е A.
АГЗ’. а • а-¹ = а-¹ • а = 1A для любого элемента а е A.
АГ4’. а • Ь = Ь • а для любых элементов а,Ь е A.
1. Из хорошо известных свойств чисел вытекает, что числовые множества R, Z, Q являются аддитивными абелевыми группами относительно обычного числового сложения, но не мультипликативными абелевы

7

ми группами относительно обычного числового умножения, поскольку нуль не имеет обратного элемента по умножению.
2. Относительно обычного числового сложения множество Z>о всех неотрицательных целых чисел является аддитивным моноидом, но не является группой, так как, например,не содержит число -1.
3. Множество R \ 0 (соотв., Q \ 0) всех действительных (соотв., рациональных) ненулевых чисел является мультипликативной группой относительно обычного умножения, но не является аддитивным моноидом относительно обычного сложения, поскольку не содержит нуля.
1.1.5. Поля и кольца.
Пусть А - непустое множество, содержащее, как минимум, два разных элемента 0А и 1А, причем для любых элементов а и b единственным образом определены элементы а + b G Айа • b G А, называемые суммой и произведением элементов a nb.
Множество А называется кольцом со сложением +, умножением •, нулем 0А и единицей 1А, если выполнены аксиомы К1-К7:
К1. а = а + 0А = 0А + а для любого элемента a G А.
К2. (а + b) + c = а + (b + c) для любых элементов а, b, c G А.
КЗ. а + (—а) = (—а) + а = 0А для любого элемента а G А.
К4. а + b = b + а для любых элементов а,Ь G А.
К5. (а • b) • c = а • (b • c) для любых элементов а, b, c G А.
Кб. а = а • 1А = 1А • а для любого элемента а G А.
К7. (а + b) c = а + b, c(а + b) = ca + b для любых элементов а, b, c G А.
Кольцо А называется коммутативным, если в А, в дополнение к приведенным выше аксиомам KI—К7 выполняется следующая аксиома: К8. ab = ba для любых элементов а^ G А.
Заметим, что выполнение аксиом К1-К4 означает, что А - аддитивная абелева группа относительно сложения + с нулем 0А, выполнение аксиом К5-К6 ознчает, что А - мультипликативный моноид относительно умножения • с единицей 1А, а выполнение аксиомы К7 связывает между собой операции сложения и умножения. Аксиома К8 означает, что мультипликативный моноид А коммутативен.
Коммутативное кольцо А называется полем, если множество F* = F \ 0 всех его ненулевых элементов является группой, т.е. для любого ненулевого элемента а G F существует такой элемент а⁻¹ G А* (называемый обратным к а), что аа⁻¹ = а⁻¹ а = 1 а-
1. Из известных свойств чисел вытекает, что числовые множества R и Q являются полями.
2. Из 1.1.2 вытекает, что множество C всех комплексных чисел является

8

полем относительно определенных в 1.1.2 сложения и умножения.
3. Кольцо целых чисел. Из известных свойств чисел вытекает, что целые числа Z образуют коммутативное кольцо, не являющееся полем. Например, ненулевой элемент 2 не имеет обратного элемента по умножению в Z.
4. Четные целые числа. Множество 2Z всех целых чисел является аддитивной абелевой группой, в которой все аксимы коммутативного кольца кроме одной - аксиомы Кв. Поэтому 2Z не является кольцом в смысле нашего определения кольца.⁴
5. Множество R[x] всех многочленов от одной переменной x с обычными операциями сложения и умножения многочленов является коммутативным кольцом, но не является полем.
Если п - натуральное число, то множество (R[x]) <ₙ всех многочленов степени < пи з R[ x ] является аддитивной абелевой группой, но не является кольцом, поскольку произведение двух многочленов степени п > 1 имеет степень 2п > п. Заметим, что в 5 вместо R можно подставить любое поле F.
в. Кольца и поля характеристики 0. Говорят, что кольцо A - кольцо характеристики 0 или кольцо нулевой характеристики (пишут char A = 0), если для любого натурального числа п сумма п экземпляров единицы 1 а не равна нулю 0а.
Если F - поле характеристики 0, то можно без ограничения общности считать, что поле F содержит поле Q всех рациональных чисел, единицы полей F и Q совпадают, причем операции поля F при действии в Q совпадают с обычными арифметическими операциями в Q. При этом рациональные числа m/п, где m G Z и 0 = п G Z, отождествляются с элементами (m • 1A)(п • 1 р)_ ¹ поля F.
Поля R, Q, C рациональных, действительных и комплексных чисел соответственно являются примерами полей характеристики 0.
7. Кольца положительной характеристики п G N и кольца вычетов Z/пZ по модулю п. Пусть A - кольцо п п - натуральное число > 2. Говорят, что кольцо A - кольцо характеристики п (пишут char A = п), если сумма п экземпляре в единицы 1A равна нулю 0 A и сумма k экземп ляров 1A не р авна 0 A пр и k < п.
т,ля любого целого числа m > 0 обозначим через [m] остаток от деления m на п. Такие остатки еще называются вычетами по модулю п. Для отрицательных чисел — m будем по определению считать, что [—m] = — [m].

   ⁴ В некоторых источниках в определении кольца не требуют наличия единицы по умножению. Поэтому в таких источниках 2Z является кольцом.

9

Через Z/пZ обозначается конечное множество всех таких остатков, состоящее из п чисел 0,1,... ,п — 1. Заметим, что для любых целых чисел x,y G Z равенство [x] = [у] равносильно тому, что число x — у нацело делится на п. В частност и, равенство [ x ] = [0] равносилья о тому, что x нацело делится на п.
Зададим на множестве Z/пZ операции ''сложения"ф и "умножения"© по правилу [x] ф [у] = [x + у] и [x] 0 [у] = [x • у], где + и • - обычные сложение и умножение целых чисел. Достаточно рутинная проверка, основанная на том, что каждое натуральное число m > 2 единственным образом разложимо в произведение степеней разных простых чисел, показывает, что множество Z/п'Z является конечным коммутативным кольцом с операциями сложения ф и умножения 0, причем нулевым и единичным элементами этого кольца являются вычеты [0] и [1]. Противоположным элементом для вычета [m] является вычет [п — m].
Кольцо вычетов Z/п Z - кольцо хар актеристики k > 0, г де k - делитель числа п, равный произведению всех разных простых⁵ делителей числа п. Так как сумма п экземпляре в единицы [1] этого кольца равна [ п ] = [0], то Z/пZ - кольцо некоторой характеристики k > 0, k < п, [k] = [0] и [у] = [0] для любого ненулевого у G N с условием у < k. Если k = п, то k - делитель числа п.
Допустим, что k < п и k - неделитель п. Поделив п на k с остатком, получаем п = kx + у, где x, у G N и 0 < у < k. Тогда [у] = [п — kp] = [п] — [ky] = [0]. Так как [у] = [0], получено противоречие.
Мы показали, что k - делитель числа п. Доказательство того, что k -произведение всех различных простых делителей числа п, оставляется читателю.
8. Если x и у - ненулевые элементы поля F, ту xp = 0.
Допустим, что xp = 0. Так как F - поле, то его ненулевой элемент у имеет обратный элемент у⁻ 1. Тогда

x = x 1 = x (уу⁻ 1) = (xy) у⁻¹ = 0 у⁻¹ = 0

и получаем противоречие.
9. Поля положительной характеристики и поля вычетов по модулю простого числа p G N.
Если F - поле характеристики p > 0, тop- простое число.
Допустим противное. Тогда p = xp, где 2 < x, у <р. Лз определения характеристики следует, что [x] = [0] и [у] = [0]. Но [x][у] = [xy] = [p] = [0], что противоречит 7.

  ⁸Напомним, что натуральное число p называется простым, если p не делится ни на какое натуральное число q с условием 1 < q < p.

10

Если p - простое число, то кольцо вычетов Z/pZ является конечным полем характеристики p > 0.
Обозначим через F кольцо вычетов Z/pZ. Так как сумма p экземпляров единицы [1] кольца F равна [p] = [0], то по 6 F - коммутативное кольцо характеристики k > 2 и k - делитель простого числа p. Поэтоиу k = p.
Остается доказать, что любой ненулевой элемент [q] G Z/pZ имеет обратный элемент. Так как [q] = [0], то 0 < q < p. Поскольку p делится лишь на 1 и на p, то наибольший общий делитель целых чисел p и q равен 1. Поэтому найдутся такие целые числа у и х, что xp + yq = 1. Поэтому [у][q] = [yq] + [0] = [yq] + [xp] = [yq + xp] = [1], т.е. произвольный ненулевой элемент [y] из Z/pZ обратим.
1.1.6. Линейные (векторные) пространства.
Пусть F - поле. Линейным или векторным пространством над F или линейным F-пространством называется множество L, в котором определена операция сложения х + y элементов из L, называемых векторами, и операция ах умножения вектора х на скаляры а G F, причем выполнены указанные ниже 8 аксиом.
Л1. Сложение ассоциативно, т.е.
(х + y) + z = х + (y + z) для всех x,y,z G L.
Л2. Сложение коммутативно, т.е. х + y = y + х для всех х, y G L.
ЛЗ. Существует такой элемент 0 G L, называемый нулем или нулевым вектором , что х + 0 = х для всех х G L.
Л4. Для любого х G L существует такой элемент —х G L, называемый противоположным к х, что х + (—х) = 0.
Л5. Если а, в G F и х G L, то (ав)х = а(fix).
Л6. Если а, в G F х g G L, то (а + в)х = ах + вх-
Л7. Если а - скаляр и х, y G L, то а(х + y) = ах + ар.
Л8. Если х G L и 1 - единица поля F, то 1 х = х.
Выполнение аксиом Л1-Л4 означает, что L - абелева группа относительно сложения + в смысле 1.1.4.
1. Любое поле F и рассмотренные ниже в 1.1.8 пространства Fⁿ и (Fⁿ)T являются примерами линейных F-пространств.
2. Примерами R-пространств являются множество всех геометрических векторов на плоскости Oxy, множество всех геометрических векторов в пространстве Oxyz, множество всех функций (непрерывных функций) на интервале (a, b).
3. Пусть F - поле. Множество Fₘₓₙ всех матрицнад F размера m х n

11