Высшая математика. Функции многих переменных, двойные и тройные интегралы


Национальный исследовательский университет МЭИ
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова



        А.А. Туганбаев




ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

        Функции многих переменных, двойные и тройные интегралы


Учебник











Москва Издательство «ФЛИНТА» 2019

УДК 517.2(075.8)
ББК 22.161.5я73
     Т81



     Туганбаев А.А.
Т81 Высшая математика. Функции многих переменных, двойные и тройные интегралы                               : учебник / А.А. Туганбаев. — М. :
     ФЛИНТА, 2019. — 228 с.
          ISBN 978-5-9765-4180-1
           Книга соответствует программам курсов высшей математики для студентов различных нематематических специальностей и может выполнять функции учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий по важнейшим темам высшей математики: пределы, непрерывность, дифференциалы, производные, формула Тейлора и экстремумы для функций нескольких переменных, двойные и тройные интегралы, замена переменных в двойном и тройном интегралах, двойные интегралы в полярных и обобщенных полярных координатах, тройные интегралы в цилиндрических, сферических и обобщенных сферических координатах, вычисление объемов, физические приложения двойных и тройных интегралов.
           Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших учебных заведений.
                                                                  УДК 517.2(075.8)
                                                                  ББК 22.161.5я73


Учебное издание

Туганбаев Аскар Аканович

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Функции многих переменных, двойные и тройные интегралы

Учебник



Поопистбоквыпуску 26.02.2020. Формат 60x88/16.
Уч.-изд. л. 9,5.
Электронное издание для распространения через Интернет.

ООО «ФЛИНТА», 117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17-Б, комн. 324.
Тел./факс: (495) 334-82-65; тел. (495) 336-03-11.
E-mail: flinta@mail.ru; WebSite: www.flinta.ru






ISBN 978-5-9765-4180-1

                                © Туганбаев А.А., 2019
© Издательство «ФЛИНТА», 2019

Оглавление


ЧАСТЬ I. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ..................5

1. Предел функции нескольких переменных .................5
   1.1. Подмножества арифметических пространств ........ 5
   1.2. Предел функции нескольких переменных ............8
   1.3. Непрерывные функции нескольких переменных ......14

2. Производные функций нескольких переменных .......... 15
   2.1. Частные производные первого порядка ........... 15
   2.2. Дифференцируемость и полный дифференциал ...... 18
   2.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности . 24
   2.4. Производные сложных функций ................... 29
   2.5. Производные неявных функций ................... 35

3. Производные высших порядков и формула Тейлора .......46
   3.1. Производные высших порядков ................... 46
   3.2. Дифференциалы высших порядков ................. 49
   3.3. Формула Тейлора ............................... 52

4. Экстремумы функций нескольких переменных ............57
   4.1. Необходимые условия экстремума ................ 57
   4.2. Достаточные условия экстремума .................60
   4.3. Условный экстремум .............................64
   4.4. Наибольшее и наименьшее значения функции ...... 70

5. Задачи о функциях нескольких переменных .............77
   5.1. Задачи с краткими решениями ................... 77
   5.2. Задачи с ответами ............................. 86
   5.3. Контрольные задания.............................90

ЧАСТЬ II. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ........................... 109

6. Двойные интегралы...................................109
   6.1. Общие свойства двойных интегралов ............ 109
   6.2. Двойной интеграл в декартовых координатах .... 112
   6.3. Замена переменных в двойном интеграле ........ 119


3

   6.4. Двойной интеграл в полярных координатах ... 122
   6.5. Двойной интеграл в обобщенных полярных координатах .................................... 131
   6.6. Физические приложения двойных интегралов .. 134

7. Тройные интегралы ...............................141
   7.1. Общие свойства тройных интегралов ......... 141
   7.2. Тройной интеграл в декартовых координатах . 144
   7.3. Замена переменных в тройном интеграле ..... 154
   7.4. Цилиндрические и сферические координаты ... 158
   7.5. Обобщенные сферические координаты ......... 165
   7.6. Вычисление объемов .........................167
   7.7. Физические приложения тройных интегралов .... 169

8. Задачи по кратным интегралам ....................176
   8.1. Задачи с краткими решениями ................176
   8.2. Задачи с ответами ..........................191
   8.3. Контрольные задания.........................196

            ЧАСТЬ I. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

            1    Предел функции нескольких переменных


        1.1  Подмножества арифметических пространств

  1.1.1. Пространство Rⁿ и расстояние между его точками.
  Множество всех наборов из n упорядоченных чисел x 1 ,...,xₙ называется n-мерным арифметическим пространством Rⁿ; такие наборы называются точками из Rⁿ с координатами x1,...,xₙ и обозначаются M(x 1;...; xₙ), a 4i1сло n называется размерностью пространства Rⁿ.
  Отождествляя точки декартова трехмерного пространства Oxyz (со-отв., декартовой плоскости Oxyz-, числовой оси Ox) с наборами их декартовых координат x, y, z, можно считать, что R³ = Oxyz, R² = Oxy и R1 = Ox = R.
  Чаще всего мы будем рассматривать пространства R² и R³, поскольку случай n = 1 соответствует изучавшимся ранее функциям одного переменного y = f (x), а при n > 3 рассматриваемые нами понятия и рассуждения аналогичны им в случаях n = 2, 3.
  Для любых двух точек M (x 1;...; xₙ) 11 N (y 1;...; yₙ) из Rⁿ неотрицательное число у/(y 1 — x 1)² + ... + (yₙ — xₙ)² обозначается p(M,N).
  Ясно, что p(M,N) = p(N,M), причемi точки M и N совпадают в точности тогда, когда p(M, N) = 0.
  1.1.2. Окрестности точек в Rⁿ, R² и R³. Пусть 5 - число > 0, M (x 1;...; xₙ) е Rⁿ 11 5 (M₀) - множество всех точек M e Rⁿ, находящихся на расстоянии менее 5 от M₀, т.е.
    5 (Mо) = {M (x 1;...; xn) е Rⁿ | V( У 1 — x 1) + ... + (yn — xn )² < 5}.

  Множество 5(M₀) называется 5-окрестностью точки M₀ или просто окрестностью точки M. Множество 5(Mо) = 5(M₀) \ M₀, получаемое удалением точки M₀ из 5(M₀) называется проколотой 5-окрестностью точки M₀ точки M₀. Окрестность 5(M₀) также называется открытым шаром радиуса 5 с центром в M₀. Множество
{M(x 1;...; xn) е Rⁿ | V(у 1 — x 1)² + ... + (yn — xn)² = 5}

  называется n-мерной сферой радиуса 5 с центром в M0; если к этой сфере добавить все точки из 5(M₀), то получитея замкнутый n-мерный шар радиуса 5 с центром в M₀.


■5

    В частном случае n = 2 (cooтв., n =3) получаем, что 5(Mо) - это круг без граничной окружности (соотв., шар без граничной сферы) радиуса 5 с центром в Mо, npi1чем 5 (Mо) задается неравенством

    (x - x о)² + (у - у о)² < 5² (соо тв., (x - x о)² + (у - у о)² + (z - z о)² < 5²),

    а проколотая 5-окрестности 5(Mо) точки Mо задается неравенствами

    0 < (x-xо)²+(у-уо)² < 5² (соотв., 0 < (x-xо)²+(у-уо)²+(z-zо)² < 5²).


    Ниже на рисунках 1.1.2(1), 1.1.2(2) и 1.1.2(3) изображены 5-окрестности 5 (Mо) пр и n = 1, 2, 3, к которым добавлены граничные точки, окружность и сфера соответственно.

рис. 1.1.2(1)

рис. 1.1.2(2)

рис. 1.1.2(3)

1.1.3. Открытые и замкнутые подмножества в Rⁿ. Области.
Пусть D - подмножество в Rⁿ 11 M - лежащая в D точка.
Точка Mᵥₙ называется внутренней точкой множества D, если D целиком содержит некоторую окрестность точки M.
Точка Mgᵣ называется граничной точкой множества D, если в любой ее окрестности в Rⁿ найдутся точки, как лежащие, так и не лежащие в D.

рис. 1.1.3

Множество D называется открытым, если D целиком содержит некоторую окрестность любой своей точки M. Иными словами, открытые множества состоят только из своих внутренних точек.

6

Множество D называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.
Например, (открытый) круг {(x,y) | x² + у² < R²} и (замкнутый) круг {(x,y) | x² + у² < R²} с центровi в точке (0; 0) рад1iyca R являются соответственно открытым и замкнутым множествами в пространстве R¹². Первый круг не содержит никаких точек ограничивающей его окружности {(x,y) | x² + у² = R²}, а второй круг получается из первого добавлением всей ограничивающей его окружности.
1.1.4. Связные и ограниченные множества и области в Rⁿ.
В общем случае непрерывной кривой в пространстве Rⁿ называется любое множество, определяемое параметрическими уравнениями
x 1 = x 1( t) ,x 2 = x 2( t),.. . ,Xn = Xn (t),
xae x। (t),x₂(t),... ,xₙ(t) - непрерывные функции.
Пусть D - подмножество в Rⁿ.
Множество D называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат множеству D.
Например, в R² кольцо D 1 = {(x,y) 11 < x² + у² < 4} на рис. 1.1.4(1) -связное множество, а множество
D2 = {(x,y) | (x - 2)² + у² < 1} U {(x,y) | (x + 2)² + у² < 1}
из двух кругов на рис. 1.1.4(2) не является связным. Если взять точку M 1 в одном круте, а точку M₂ в другом, то их нельзя соединить непрерывной кривой, которая не выходила бы из множества D.


рис. 1.1.4(1)

рис. 1.1.4(2)

Открытое связное множество называется открытой областью ши просто областью. Область с присоединенными к ней всеми граничными точками называется замкнутой областью.

7

Например, указанное выше множество D 1 является областью, а множество D₂ не является областью, так как оно не является связным.
Множество D называется ограниченным в Rⁿ, если в Rⁿ существует какой-либо шар, содержащий D, т.е. если в Rⁿ существует такая 5-окрестность какой-нибудь точки Mо, что D С 5(M₀).
Рассмотренные выше множества D1 11 D1 ограничены. Примерами неограниченных в R² являются полуплоскость {(x,y) | у > 0} или вся плоскость R².



        1.2 Предел функции нескольких переменных

1.2.1. Определение функции нескольких переменных.
Пусть D - подмножество в Rⁿ, состояще е из точек M (x 1; x ₂;...; xₙ). Отображение f: D ^ R, сопоставляющее каждой точке M из D ровно одно число и, называется функцией n переменных с областью определения D = D(f) и шпнут и = f(x 1 ,x₂,...,xₙ) и.ти и = f(M). Совокупность всех получаемых таким образом чисел и называется областью значений функции и = f (M). При n > 2 функции и = f (M) называются функциями нескольких переменных, или функциями н.п., или функциями многих переменных. При n =1 получаем изучавшиеся ранее функции у = f (x) (одной) пвременной x.
1.2.2. Функции более трех переменных.
Заметим, что математический анализ функций нескольких переменных принципиально не отличается от математического анализа функции двух или трех переменных. Поэтому мы, в основном, рассматриваем только функции двух и трех переменных. В таких случаях часто пишут z = f (x,y) и.ти и = f (x,y,z) вместо z = f(x 1 ,x₂) или и = f (x 1, x ₂ ,x ₃). При этом пары (x, у) и тройки (x, у, z) рассматриваются как точки M с декартовыми координатами на двумерной плоскости Oxy или в трехмерном пространстве Oxyz. Итак, функции f (x, у) или f (x^,z) отображают точки M некоторого подмножества D плоскости Oxy или пространства Oxyz в числа. Например, объем V прямоугольного параллелепипеда со сторонами длины x, у и z является функцией и = f (x, у, z) = xyz, определенной на множестве D: x > 0, у > 0, z > 0.
1.2.3. Графики функций двух переменных. Функции z = f (x^) двух переменных наряду с аналитической формой записи (формулой) могут быть заданы таблично и графически, в виде поверхностей в трехмерном пространстве. Поверхность, определяемая уравнением z = f (x^) называется графиком функции f (x^). Значение функции в точке (x; у) выражается аппликатой z соответствующей точки графика

8

(рис. 1.2.3). Для построения графика функции двух переменных, в некоторых случаях, возможно, использовать метод линий уровня, которые задаются условиями z = C, f (x, y) = C, где C E R.

График функции дает наглядное представление о значениях функции в различных точках ее области определения.

рис. 1.2.3

1.2.4. Пример. Построим график функции z = x² + y².
Ясно, что при C < 0 на графике z = f (x, y) нет точек. В плоскости C0 на графике имеется только точка O(0; 0; 0). При C = 1 линия уровня x² + У² = 1 - это окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Поэтому пересечение графика z = f (x,y) с плоскостью z = 1 - это окружность x² + y² = 1, поднятая на высоту 1. Пересечением графика с плоскостью z = 4 является окружность x² + y² = 4, z = 4 радиуса 2, и т.д. Если график z = x² + y² пересечь плоскостью x = 0, то получим параболу z = y² в плоскости yOz. График показан на рис. 1.2.4.

рис. 1.2.4

1.2.5. Пример. Найти область определения функции z=V¹ — x2 - Чё .

< В данном случае допустимы те значения переменных x и y, при ко-

торых выражение

1-

x²

  y²
— -5- неотрицательно, т.е. b ²

a ²

9

    x²   y²        x²   y²     _              x²   y²
1------ — — > 0 или —г I тл < 1. Так как кривая —- + л~- I является
    a²   b²        a²   b²                    a²   b²
эллипсом, то искомые точки находятся внутри области, ограниченной

этим эллипсом (см. рис. 1.2.5). >

рис. 1.2.5

1.2.6. Пример. Найти область определения функции z = ln(y²—4x+8). < Область определения функции z = ln(y² — 4x + 8) - множество всех таких точек (x; y), что y² — 4x + 8 > 0. Заметим, что y² = 4x — 8 — парабола с вершиной в точке (2; 0). Так как 0² — 4 • 0 + 8 > 0, то точка (0; 0) лежит в области определения. Точка (3; 0), наоборот, не входит в область определения, так как 0² — 4 • 3 + 8 < 0. А поскольку величина y² — 4x + 8 может менять знак только при проходе через 0, т.е. только в точках параболы, то y² — 4x + 8 < 0 всюду внутр!i параболы и > 0 всюду вне ее. Следовательно, область определения функции представляет собой часть плоскости, лежащая слева от параболы y² = 4x — 8 (см. рис. 1.2.6). >

рис. 1.2.6

1.2.7. Поверхности уровня функции трех переменных.
Пусть D = {(x; y; z)} - некоторое множеств о точек пространства 0 xyz и

10

и = f (x, y, z) - функция треx переменных x, y, z, определенная на множестве D, где D - область определения функции f (x, y,z), а переменные x, y, z - аргументы функции f (x, y, z').
В качестве геометрической интерпретации функции f (x, y, z) трех переменных рассматривают поверхности уровня f (x,y,z) = C = соnst, на каждой из которых значения функции являются постоянными (но, в общем случае, различными на различных поверхностях).
1.2.8. Пример. Найти область определения функции
u = VR² — x² — y² — z² + ^     —   ^ = при R> r


x показать, что сферы x² + y² + z² = р² являются поверхностями уровня, и наименьшее значение функция имеет на сфере x² + y² + z² = R².
< Найдем сначала область определения

( R² - x² - y² — z² > 0
( x² + y² + z² — r² > 0

x x² + y² + z² < R² или | x² + y² + z² > r²

Следовательно, областью определения функции является шаровой пояс r² < x² + y² + z² < R², ограниченный сферами радиусов r и R.
Очевидно, что при x² + y² + z² = р² = const значения функции
и = RR² — р² +       == не изменяются. Таким образом, сферы x² +
                 р² - r²
y² + z² = р² при r < р < R являются поверхностями уровня функции и = и(x, y, z'). Рассмотрим функцию

и (р) = VR ² - р² + ₂ 2          ₂
у р² — r²

на полуинтервале (r, R].

Найдем наименьшее значение


   (р) =------—--------— , р
            V R² — р²      V ( р ² — r²)³


-" (р—2+ ⁺

1
V ( р² — r ²)³

)

При 0 < r < р < R производная и' (р) < 0, следовательно, функция и (р) при возрастании р убывает. Поэтому наименьшее значение функция и(р) имеет при р = R, т.е. на сфере x² + y² + z² = R².
1.  2.9. Пределы функции нескольких переменных.
1.  Предел во внутренней точке. Пусть функция н.п. f (M) определена хотя бы в некоторой проколотой окрестности точки M₀ G Rⁿ.
Число A называется пределом функции f (M) при M ^ Mо, если для любого числа £ > 0 найдется такое число 5 > 0, что \ f (M) — A| < £ для

11

всех M е 5(M₀).
В этом случае пишут ^Ъш^ f (M) = A.

Из определения предела функции нескольких переменных следует, что он не зависит от линии, по которой точка M приближается к M₀.
При n = 2 имеем M₀ = M₀(x₀; у₀) и вместо lim f (M) = A часто пи-
                                       M M₀
шут lim f (M) = A. Для вычисления предела в этом случае часто не-x i X 0
     НУ о
реходят к полярным координатам р, в, выбирая точку M₀(x₀,у₀) в качестве полюса полярной системы координат и направляя полярную ось параллельно оси Ox. Тогда x — x₀ = р cos в, у — у₀ = р sin в и


           lim f (x, у) = lim f (x₀ + р cos в, у₀ + р sin в).           1.2.9(1)
           О—О о           p . 0
           У — У о

Вычисление предела функции двух переменных x, у сводится к вычислению предела функции одного переменного р, причем если величина предела в правой части формулы (1.2.9(1)) окажется зависящей от в, то это будет означать, что lim f (x,p) не существует.
'    О—О 0 о ⁴ z        '
                           У—У 0

рис. 1.2.9(1)

рис. 1.2.9 (2)

2. Предел в граничной точке. Пусть M₀ - граничная точка области определения D функции н.п. f (M). Тогда в каждой проколотой окрестности точки M₀ есть хотя бы одна точка, в которой f (M) не определена. Поэтому определение предела f (M) в точке M₀ слегка изменяется:
число A называется пределом функции f (M) при M ^ M₀, если для любого числа £ > 0 найдется такое число 5 > 0, что \f (M) — A| < £ для всех M е D П 5(Mо).
В этом случае пишут ^lim^ f (M) = A.

В обоих случах 1 и 2 смысл предела ^lim^. f (M) = A заключается в том,

12