Курс математического анализа


Национальный исследовательский университет МЭИ


Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова




А.А. Туганбаев





КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА




            Учебник














Москва Издательство «ФЛИНТА» 2020

УДК 517.2(075.8)
ББК 22.161.5я73
     Т81





        Туганбаев А.А.

Т81 Курс математического анализа [Электронный ресурс] : учебник / А.А. Туганбаев. — М. : ФЛИНТА, 2020. — 376 с.
        ISBN 978-5-9765- 4282-2
        Книга соответствует программам курсов высшей математики для студентов различных нематематических специальностей и может выполнять функции учебника, задачника и решебника по важнейшей части высшей математики - математическому анализу, включая разделы: пределы, непрерывность, дифференциалы, производные, формула Тейлора и экстремумы для функций одной и нескольких переменных, неопределенные, определенные, несобственные, двойные и тройные интегралы, числовые и функциональные ряды.
        Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших учебных заведений.
                                                            УДК 517.2(075.8)
                                                            ББК 22.161.5я73



Учебное издание

Туганбаев Аскар Аканович

        КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Учебник

Подписано к выпуску 26.02.2020. Формат 60x88/16.
Уч.-изд. л. 15,67.
Электронное издание для распространения через Интернет.

ООО «ФЛИНТА», 117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17-Б, комн. 324.
Тел./факс: (495) 334-82-65; тел. (495) 336-03-11.
E-mail: flinta@mail.ru; WebSite: www.flinta.ru




ISBN 978-5-9765- 4282-2

                      © Туганбаев А.А., 2020
© Издательство «ФЛИНТА», 2020

Оглавление


1. Пределы функций одной переменной ............................5
1.1. Простейшие множества ......................................5
1.2. Элементарные и неэлементарные функции .................... 7
1.3. Различные определения пределов ...........................12
1.4. Бесконечно малые функции ................................ 17
1.5. Свойства пределов ....................................... 19
1.6. Общие свойства непрерывных функций ...................... 23
1.7. Непрерывность элементарных функций ...................... 25
1.8. Непрерывные на отрезке функции .......................... 27
1.9. Два замечательных предела ............................... 29

2. Задачи по пределам ........................................ 33
2.1. Примеры решения задач по пределам ....................... 33
2.2. Задачи по пределам для самостоятельного решения ......... 36

3. Производные ............................................... 41
3.1. Свойства производных .....................................41
3.2. Производные элементарных функций ........................ 49
3.3. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, Лопиталя и Тейлора ....... 51

4. Задачи по производным ..................................... 62
4.1. Примеры решения задач по производным .................... 62
4.2. Задачи по производным для самостоятельного решения ...... 65

5. Исследование функций и их графиков .........................68
5.1. Асимптоты ............................................... 68
5.2. Возрастание, убывание и экстремумы функции ................. 68
5.3. Направления вогнутости графика .......................... 74

6. Задачи по исследованию функций .............................78
6.1. Примеры решения задач по исследованию функций ........... 78
6.2. Задачи по исследованию функций для самостоятельного решения.94

7. Неопределенный интеграл ...................................... 99
7.1. Общие свойства неопределенных интегралов ................ 99
7.2. Интегрирование рациональных дробей ..................... 102
7.3. Интегрирование тригонометрических выражений ............ 104
7.4. Интегрирование иррациональных выражений ................ 105

8. Определенный интеграл .....................................110
8.1. Общие свойства определенного интеграла ................. 110
8.2. Теоремы об определенных интегралах ......................116
8.3. Геометрические приложения интегралов ....................119


3

9.  Несобственные интегралы .................................127
9.1. Интегралы с бесконечными пределами .................... 127
9.2. Интегралы от неограниченных функций ....................133

10. Задачи по интегралам ................................... 138
10.1. Примеры решения задач по интегралам .................. 138
10.2. Задачи по интегралам для самостоятельного решения .... 148
.
11. Числовые ряды .......................................... 163
11.1. Общие свойства числовых рядов .........................163
11.2. Признаки сравнения и интегральный .................... 165
11.3. Признаки Даламбера, Коши и Лейбница .................. 169

12. Функциональные ряды .....................................172
12.1. Общие свойства функциональных рядов....................172
12.2. Степенные ряды ....................................... 175
12.3. Ряды Фурье ............................................183

13. Задачи по рядам ........................................ 186
13.1. Примеры решения задач по рядам ....................... 186
13.2. Задачи по рядам для самостоятельного решения ......... 191
.
14. Функции многих переменных .............................. 199
14.1. Предел и непрерывность функции многих переменных ......199
14.2. Частные производные первого порядка и дифференциал ... 209
14.3. Производные сложных и неявных функций .................222
14.4. Производные высших порядков и формула Тейлора .........240
14.5. Экстремумы функций многих переменных ..................250

15. Задачи о функциях многих переменных .....................270
15.1. Примеры решения задач по функциям многих переменных ...270
15.2. Задачи для самостоятельного решения ...................279

16. Кратные интегралы .......................................283
16.1. Двойные интегралы .....................................283
16.2. Тройные интегралы .................................... 308
16.3. Физические приложения кратных интегралов ............. 335

17. Задачи по кратным интегралам ............................350
17.1. Примеры решения задач .................................350
17.2. Задачи для самостоятельного решения ...................365

18. Справочный материал .................................... 370

Пределы функций одной переменной




            1.1 Простейшие множества



1.1.1. Множества и подмножества. Пусть X, Y,..., Z - множества, х, у,..., z - их элементы.¹ Зафиксируем некоторые обозначения. Запись х е X означает, что х - элемент множества X. Обозначения Y С Хи X D Y означают, что Y - подмножество множества X, т.е. множество Y содержится в X; это означает, что все элементы из Y являются элементами из X. Записи Y С X и X ) Y означают, что Y - подмножество в X и X = Y. Запись X = {х ₁,..., xₙ,...} означает, чт о множество X состоит из элементов х 1,..., xₙ,....
Вместо слов “для всех”, “существует”, “такое, что” в формулах иногда используются символы V, 3 и : соответственно. Через 0 обозначается пустое множество, не содержащее никаких элементов.
1.1.2. Операции с множествами. Через X П Y и X U Y обозначаются пересечение и объединение двух множеств X и Y, через X \ Y -множество всех элементов из X, не лежащих в Y. Ясно, что X \ X = 0.

A + B     A • B

A \ B

1.1.3. Числовые множества. Через N, Z, Q, R обозначаются множество всех натуральных чисел n = 1,2,..., всех целых чисел z = 0, ± 1, ±2,..., всех рациональных чисел m/n, где m е Z и n е N, всех действительных чисел. Подмножества в R называются числовыми множествами. Через R>о, R<о, R>о и R<о обозначаются множества всех положительных, отрицательных, неотрицательных и неположительных чисел. Если n е N, то произведение 1 • 2 •... • n называется факториалом числа n и обозначается через n!; кроме того, считаем, что 0! = 1.
Через (a,b), [a,b], [a,b), (a,b] обозначаются интервал, отрезок, левый полуинтервал и правый полуинтервал с концами точках a и b, т.е. множество таких всех чисел х, что a < х < b, a < х < b, a < х < b, a < х < b. Мы также рассматриваем бесконечные интервалы и полуинтервалы (—ж, + то) = R, (-rx,b), (-rx,b], (a, + то), [a, + то). Все
  хМы не приводим определения множества и его элементов.

5

интервалы, отрезки и полуинтервалы (в том числе, и бесконечные) называются промежутками.
Через £ и 5 всегда обозначаются положительные числа, через x₀ - числа (или точки на числовой прямой). Интервал (x₀ - 5, x₀ + 5), задаваемый неравенством \x — x₀1 < 5, называется 5-окрестностью или окрестностью точки x₀ и обозначается 5(x₀). Если удалить из окрестности 5(x₀) ее центр x₀, то получитея проколотая 5-окрестность (x₀ — 5, x₀ + 5) \ x₀ = (x 0 — 5, x ₀) U (x 0, x 0 + 5) точ ки x ₀, обозначав мая через 5 (x ₀).

        1.1.4. Ограниченные множества и точные грани.

Числовое множество X называется ограниченным снизу (соотв., сверху), если существует такое число M₁ (соотв., M2), что M₁ < x (соотв., x < M₂) для всех x G X. В этом случае число M 1 (соотв., M₂) называется нижней (соотв., верхней) гранью множества X. Множество X называется ограниченным, если X ограничено снизу и сверху, т.е. существуют такие числа M 1 и M₂, что M 1 < x < M₂ для всех x G X. Ясно, что
множество X ограничено в точности тогда, когда существует такое число M > 0, что —M < x < M для всех x G X, т.е. \x\ < M для всех x G X.
Число m (соотв., M) называется точной нижней (соотв., верхней) гранью для множества X, если m - нижняя грань (соотв., M - верхняя грань) для X и никакое число, большее m (соотв.,меньшее M), не является нижней (соотв., верхней) гранью для X. В этом случае число m (соотв., M) обозначается через inf X (соотв., supX) и может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X. Например, число 0 является точной нижней гранью множеств X = {1 /2,1 /3,..., 1 /п,...} и У = {0, 1 / 2, 1 / 3,..., 1 /п,...}, при чем 0 / X и 0 G Y.
Мы принимаем за аксиому следующее свойство чисел, называемое аксиомой точной нижней грани:
каждое ограниченное снизу непустое числовое множество обладает точной нижней гранью.
Можно проверить, что из аксиомы точной нижней грани вытекает следующее свойство чисел:
каждое ограниченное сверху непустое числовое множество обладает точной верхней гранью.
Итак, каждое ограниченное непустое числовое множество обладает точной верхней гранью и точной нижней гранью.
1.1.5. Лемма о вложенных отрезках. Для любого бесконечного набора вложенных отрезков [a 1, b 1] D [a₂, b₂] D • • • [an, bₙ] D • • • существует хотя бы одна точка c, общая для всех отрезков [aₙ,bₙ].

6

< Обозначим через X и Y множества всех точек aₙ b bₙ соответственно. Эти множества непусты и ограничены. По 1.1.4 существуют точная верхняя грань sup X и точная нижняя грань inf Y. Если sup X < inf Y, то существует такое число с, что sup X < с < inf Y, откуда aₙ < с < bₙ для всех n и с - общая точка для всех отрезков [aₙ,bₙ]. Допустим теперь, что supX > inf Y. Тогда существует такое число M, что sup X > M > inf Y. Поэтому существуют такие aₙ и bₖ, что bₖ < M < an- Тогда ak < bk < an < bn- Так как ak < an и bk < bn, то n < к и k < n, чего быть не может. >

        1.1.6. Математическая индукция.

Мы принимаем как аксиому следующее утверждение, называемое принципом математической индукции.
Пусть имеются утверждения P₁,...,Pₖ,Pₖ₊₁,... и установлено, что P1 верно и для любого натурального к доказано, что если верны все P₁,... ,Pₖ, то верно и Pₖ₊₁. Тогда все утверждения P₁ ,P2,P3,... верны.


            1.2   Элементарные и неэлементарные функции


        1.2.1. Отображения и функции.

Если X и Y - два непустых множества и каждому элементу x G X по какому-то правилу сопоставлен в точности один элемент y = f (x) G Y, то говорят, что на X задано отображение f, принимающее значение в множестве Y; при этом пишем f: X ^ Y, а множество X называется областью определения отображения f и обозначается D(f). Через Im (f) обозначается подмножество в Y, состоящее из всех элементов вида f (x), Gx G X. Множество Im(f) называется областью значений отображения f и может как совпадать с Y, так и не совпадать с ним.
Если есть два отображения f: X ^ Y ид: Y ^ Z, то правило gf (x) = д(f (x)) задает отображение f: X ^ Z, называемое композицией отображений f и д или сложным отображением.
Если X и Y - два числовых непустых множества, то отображения X ^ Y называются функциями (одной переменной). Графиком функции у = f (x) называется множество всех точек на декартовой плоскости Oxy с координатами (x; f (x)).

        1.2.2. Ограниченные, нечетные, четные, периодические и монотонные функции.

Функция у = f (x) называется ограниченной на множестве X, если множество ее значений при x G X ограничено, т.е. существуют такие числа M₁ и M₂, что M₁ < f (x) < M₂ для всех x G X. Аналогично определяются ограниченные сверху (снизу) функции. Если область определения

7

D (f) функции y = f (x) вместе с каждой своей точкой x содержит также точку —X и f (—x) = — f (x) (cooТВ., f (—x) = f (x)) для всех x G D(f), то функция y = f (x) называется нечетной (соотв., четной). Функция y = f (x) называется периодической, еели существует такое число T > 0, что x + T G D(f) для всех x G D(f) и f (x + T) = f (x) для всех x G D(f). Наименьшее такое число T называется периодом функции f (x). Говорят, что функция f (x) строго возрастает (соотв., нестрого возрастает) на числовом множестве X, если f (x 1) < f (x₂) (cooтв., f (x ₁) < f (x₂)) для всех чисел x 1 < x₂ из X. Говорят, что функция f (x) строго убывает (соотв., нестрого убывает) на X, если f (x 1) > f (x₂) (coотв. f (x 1) > f (x₂)) для всех чисел x 1 < x ₂ и з X. Если f (x) строго воз растает на X или строго убывает на X, то говорят, что f (x) строго монотонна на X. Аналогично определяются нестрого монотонные функции.

        1.2.3. Простейшие элементарные функции.

Такими функциями называются тригонометрические функции sin x, cosx, tgx, ctgx, степенные функции xa, показательные функции ax, логарифмические функции logₐ x, обратные тригонометрические функции arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.
Тригонометрические функции.
На (—ж, + то) функции y = sin x и y = cos x ограничены и имеют период 2 п, при чем sin x - нечетная функция, a cos x - четная функция.

Функции tg x и ctg x - не ограниченные сверху или снизу, периодические функции с периодом п, нечетные функции. На интервале функция tg x строго возраставт. На интервале (0, п) функция ctg x строго убывает.

8

        Степенные функции y = xa для раз личных a G R.

Например, функции x³, x¹ /³, x¹ - нечетные, а функция x² - четная. На промежутке (-х, х) функции x³ и x¹ /³ не ограничены и строго возрастают, а на промежутке (-х, 0) функции x² и x-¹ строго убывают, 21
причем x² ограничена на этом промежутке снизу, ax ¹ - сверху.



9

        Показательные и логарифмические функции.

На промежутке (—ж, + то) функции ax ограничены снизу и строго монотонны, причем ax строго возрастает при a > 1 и строго убывает при 0 < a < 1. На промежутке (0, + то) функции logₐ x строго монотонны и не ограничены снизу или сверху, причем при a > 1 функции logₐ x строго возрастают, а при 0 < a < 1 функции logₐ x строго убывают.



        Обратные тригонометрические функции.

Функции y = arcsin x у у = arccos x определены на [—1; 1], причем на [ — 1; 1] функция arcsin x строго воз растает, a arccos x строго убывает. На всей оси Ox функции у = arctg x и у = arcctg x ограничены, причем arctg x строго воз растает, a arcctg x строго убывает.


10

        1.2.4. Элементарные и неэлементарные функции.

Элементарными функциями называются все функции, получающиеся из постоянных, степенных, показательных, логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и композиции. Все остальные функции называются неэлементарными.
Например, функция f (x), для к оторой f (x) = 1 и ри x G Q и f (x) = 0 при x G R \ Q, неэлементарна.
Элементарными функциями являются, например, гиперболические функции sh x, ch x, th x, cth x.
Функции shx = e—^e— и chx = e +e— называются гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом от x. Непосредственно проверяется, что ch x - четная положительная функция, sh x - нечетная функция, равная нулю только при x = 0. Функции

11

      sh x ex - ex c          chx  ex + e x _ _ _
th x = —— = -------- и cth x = —— =-------- называются гипербо-
      ch x ex + exx           sh x ex - exx
лическим тангенсом и гиперболическим котангенсом от x.

Функции sh x, ch x, th x, cth x обладают свойствами, во многом напоминающими свойства соответствующих тригонометрических функций. Например,

2sh xch x = 2 ——— ex ⁺ e x = ——e— = sh2x, 2                        2            2           ,

                    2 2 2    e 2x + 2 + e 2² x
2ch² x =----------------= ch 2x + 1,


   2sh² x = ——²2⁺ e 2 x = ch 2x - 1,

ch² x — sh² x = 1.



            1.3   Различные определения пределов


1.3.1. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность. Если x₀ - число, то любой интервал на оси Ox с левым (соотв. правым) концом в точке x₀ называется проколотой окрестностью символа x₀+ (соотв., символа x₀ —).
Для любого числа N > 0 множество чисел, задаваемое неравенством |x| > N (соотв., x > N, —x>N) называется проколотой окрестностью бесконечности (соотв., проколотой окрестностью плюс-бесконечности, проколотой окрестностью минус-бесконечности).


12