Высшая математика. Комплексные функции и интегралы. Ряды и многочлены


Национальный исследовательский университет МЭИ



А.А. Туганбаев




ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Комплексные функции и интегралы Ряды и многочлены




Учебник








Москва Издательство «ФЛИНТА» 2022

УДК 511.176+517.5(076.2)
ББК 22.161я73
     Т81








    Туганбаев А.А.
Т81 Высшая математика. Комплексные функции и интегралы. Ряды и многочлены                            : учебник / А.А.
    Туганбаев. — Москва : ФЛИНТА, 2022. — 152 с.

       ISBN 978-5-9765-4615-8

       Книга соответствует программам курсов высшей математики для студентов специальностей с расширенным изучением высшей математики и может выполнять функции учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий по важнейшим разделам высшей математики: поля, многочлены, кольца.
       Для студентов, аспирантов и преподавателей по специальностям с расширенным изучением высшей математики.
УДК 511.176+517.5(076.2)
ББК 22.161я73








ISBN 978-5-9765-4615-8

© Туганбаев А.А., 2022
© Издательство «ФЛИНТА», 2022

Оглавление


Глава 1. Комплексные функции и их производные........6
1.1. Комплексные числа и комплексная плоскость.......6
     1.1.1. Комплексные числа и действия над ними....6
     1.1.2 Подмножества комплексной плоскости........11
     1.1.3. Кривые и области.......................13
     1.1.4. Основные элементарные функции............ 14
1.2. Производные комплексных функций.............. 16
     1.2.1. Условия Коши-Римана................... 16
     1.2.2. Достаточное условие дифференцируемости... 17
1.3. Задачи к главе 1..............................18

Глава 2. Комплексные интегралы и их свойства.........19
2.1. Комплексные интегралы........................ 19
     2.1.1. Достаточное условие интегрируемости....20
     2.1.2. Основные свойства комплексных интегралов.20
2.2. Теорема Коши и интеграл Коши..................21
     2.2.1. Теорема Коши...........................21
     2.2.2. Формула Коши, интеграл Коши и интеграл типа Коши..........................23
     2.2.3. Аналитичность всех производных аналитической функции.......................................24
2.3. Задачи к главе 2..............................27

Глава 3. Действительные и комплексные ряды...........28
3.1. Числовые ряды над С и R.......................28
     3.1.1. Общие свойства числовых рядов............28
     3.1.2. Признак сравнения. Интегральный признак..33
     3.1.3. Признаки Даламбера, Коши и Лейбница......38
3.2. Функциональные ряды над С и R.................41
     3.2.1. Общие свойства функциональных рядов......42
     3.2.2. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус, круг и интервал сходимости....................48
     3.2.3. Свойства степенных рядов...............51
     3.2.4. Ряды Тейлора аналитических функций.....53
     3.2.5. Ряды Тейлора действительных функций....55


3

     3.2.6. Разложения в ряды Тейлора и Фурье........55
3.3. Задачи к главе 3...............................60
     3.3.1. Задачи с краткими решениями.............60
     3.3.2. Задачи с ответами.......................64

Глава 4. Ряды Лорана и вычеты.......................68
4.1. Ряды Лорана....................................68
     4.1.1. Нули аналитических функций..............68
     4.1.2. Теорема Лорана..........................69
     4.1.3. Изолированные особые точки..............71
4.2. Вычеты и их применение.........................75
     4.2.1. Вычеты в изолированных особых точках.....75
     4.2.2. Вычет в бесконечно удаленной точке.......76
     4.2.3. Вычеты и вычисление интегралов..........77
4.3. Задачи к главе 4...............................78

Глава 5. Комплексные и действительные многочлены.....81
5.1. Комплексные многочлены.........................81
     5.1.1. Общие сведения о многочленах над С и R...81
     5.1.2. Комплексные последовательности и пределы.83
     5.1.3. Модули комплексных многочленов..........83
     5.1.4. Алгебраическая замкнутость поля С.......86
     5.1.5. Разложения и корни комплексных многочленов .... 88
     5.1.6. Решение кубических уравнений над С.......92
     5.1.7. Решение уравнений степени 4 над С........97
5.2. Действительные и рациональные многочлены.......98
     5.2.1. Действительные многочлены...............98
     5.2.2. Рациональные и целочисленные многочлены..99
5.3. Задачи к главе 5..............................103

Глава 6. Поля, кольца и многочлены.................105
6.1. Поля и кольца.................................105
     6.1.1. Поля и подполя. Кольца и подкольца.......105
     6.1.2. Характеристики и примеры колец и полей...108
     6.1.3. Идеалы в кольцах и главные идеалы........110
6.2. Евклидовы кольца и области главных идеалов......113
     6.2.1. Евклидовы кольца.......................113
     6.2.2. Области главных идеалов................115


4

     6.2.3. Факториальные области...................118
     6.2.4. Кольца многочленов..................... 124
     6.2.5. Поле частных. Многочлены над факториальными областями...................129
6.3. Расширения полей.............................. 136
     6.3.1. Алгебраические и конечные расширения.....136
     6.3.2. Минимальные многочлены и степень алгебраического элемента..............138
     6.3.3. Простые расширения полей............... 139
     6.3.4. Составные алгебраические расширения.....142
     6.3.5. Поле алгебраических чисел...............145
     6.3.6. Квадратичные расширения полей и разрешимость в квадратных радикалах......... 147
     6.3.7. Построения с помощью циркуля и линейки...149

Глава!





                Комплексныефункциииих производные





            1.1  Комплексныечис лай
            комплекснаяплоскость


        1.1.1 Комплексныечислаи действиянадними

а. Наделиммножествоупорядоченныхпар z = (x,y), x,y G R,операциями сложения,умножениянадействительноечисло A G R иумноженияпарпо правилам
           z 1 + z 2 = (x 1 ,y 1) + (x 2 ,y 2) = (x 1 + x 2 ,y 1 + y 2),             (1.1.1)
Az = (Ax, Ay) = zA,          (1.1.2)
       z 1 • z 2 = ( x 1 ,y 1) (x 2 ,y 2) = ( x 1 x 2 - y 1 y 2 ,x 1 y 2 + x 2 y 1). (1.1.3)
Этомножествопарстакимиоперацияминазывается полемкомплексных чисел иобозначаетсячерез С,асамиэлементы(пары) z = (x, y) называются комплекснымичислами ,¹
Комплексноечисло (0, 1) называется мнимойединицей иобозначаетсячерез г.Согласно(Ы.З),
i • i = i² = (0, 1)(0, 1) = (-1, 0).

Комплексноечисло z = (x,y) можетбытьпредставленоввиде

z = (x,y) = (x, 0) + (0,y) = (x, 0) + (0,1)(y, 0) = x + iy.

  ¹Всочетании"комплексноечисло"большинствоматематиковпроизносятслово"ком-

п лексное " суд арен нем во втором сл оге.

6

Комплексныечпслапдействпянаднтш                                 7

Числа x, y & R называются действительной и мнимойчастями числа z = x + iy иобозначаютсяНе z и I zaz соответственно.
Замечание. Комплекснуюплоскость С можнорассматриватькакмноже-ствовсехформальныхсумм z = x + iy, г д x, y -произвольныедействи-тельныечислаи i -формальныйсимвол,называемый     мнимойединицей ,
гдепоопределениюсчитается.что i² = — 1.
Алгебраическойформойзаписи комплексногочисла z называетсяегозапись ввиде z = (x, у) = x + iy.
Комплексныечисла z = (x,y) & C изображаются™чкамиплоскости Oxy с декартовымикоординатами (x; y).Такаяплоскость R² = Сдочкикоторой отождествленысэлементамииз    Сказывается комплексной плоскостью .
Комплексныечисла (x, 0) = x(1,0),лежащиеиаосиабсцисс,отождеств-ляютсясдействительнымичислами x & R,acaMaocba6cn,HCCHa3biBaeTCH действительнойосью .
Векторнойформойзаписи комплексногочисла z называетсяегозаписьв виде z = (x,y) = x • 1 + y • i, гдеестественныйбазисв С = R² задается векторами 1 = (1, 0) i1 i = (0, 1).
Комплексныечисла (x, 0) = x(1, 0),лежащиеиаосиабсцисс,отождеств-ляютсясдействительнымичислами x & R,acaMaocba6cn,HCCHa3biBaeTcn действительнойосью .
Такимобразом,считаем,что R С С,полагая x = x+i0,т.е.действительная ось Ox вкладываетсявкомплекснуюплоскостывчастности,комплексные числа 1 = 1 + i0 и 0 = 0 + i0 называют единицей и нулем для С.
Комплексныечисла (0, y) = y(0, 1) = iy располагаютсянаосиординат, называемой мнимойосью .асамичисла iy называются чистомнимыми .
Длякомплексногочисла z = x + iy комплексныечисла — z = — x — iy и z = x—iy называются противоположным и сопряженным к z соответственно. Ясно.чтоточки z и z наплоскости Oxy симметричныотносительнооси Ox, zz = x² + y² = |z|² > 0, z~z =0 пр и z = 0.

Разностью чисел a,b & С называетсячисло a + (—b) & С,обозначаемое через a — Ь.Операциянахожденияразностиназывается вычитанием.

Комплексные числа и комплексная плоскость

Например, (2 — 5i) — (—3 + 7i) = (2 + 3) + (—5 — 7)i = 5 — 12 i.
Непосредственными вычислениями проверяются приведенные ниже свойства I-VII операций над комплексными числами.
I. Коммутативность сложения и умножения.
a + b = b + a и ab = ba для любых a, b G C.
II. Ассоциативность сложения и умножения.
a + (b + c) = (a + b) + c 11 (ab)c = a (bc) для любых a,b,c G C.
III. Наличие нуля и единицы.
a + 0 = 0 + a = ana 1 = 1 a = a для всех a G C.
IV. Противоположный элемент по сложению.
a + (—a) = (—a) + a = 0 для любого a G C.
V.  Дистрибутивность умножения по сложению.
a (b + c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca для любых a,b,c G C.
Таким образом, свойства операций сложения и умножения в C аналогичны соответствующим свойствам сложения и умножения в R.
VI. Обратимость ненулевых элементов.
Для любого 0 = a G C имеем 0 = |a| = aa G R, откуда
aa |a| ¹ = a |a| ¹ a = 1; чиело a |a| ¹ называется обратным к ненулевому числу a и обозначается a⁻ 1.
VII. Деление на ненулевые комплексные числа.
Если z 1, z 2 G Cii z 2 = 0, т о \z 21² = z 2 z 2 = x 2 + y 2 = 0 и


z 1 _ z 1 z2 _ x 1 x2 + y 1 y2 .У1 x2 — x 1 y2 =       — =       2.2 ⁺ i 2.2
z 2 z 2 z 2       x² + y²        x 2 + y²


(1.1.5)

TT         (11 + 13 i )(3 + 7 i)
Например, -----9+49--------


— 58 + 116 i 58

—1 + 2 i.

Замечание о полях. Пусть F - некоторое множество, содержащее, как минимум, два разных элемента 0 и 1, называемые нулем и единицей, причем для любых двух элементов a,b G F определены единственные элементы a + b G F и ab G F, называемые суммой и произведением элементов a и b соответственно. Если указанные операции суммы и произведения в F удовлетворяют аналогам всех вышеуказанных свойств I-VII, то множество F называется в математике полем. Таким образом, множество C всех комплексных чисел - полем. Полями являются также все подмножества в C, содержащие нуль и единицу поля C и содержащие вместе с любыми двумя своими элементами a, b их сумму a + b, произведение ab и (в случае a = 0) обратны!i элемент a⁻ 1. Например, множество всех действительных чисел R и множество всех рациональных чисел Q являются полями, а мио-

Комплексные числа и действия над ними

9

жества Z и N всех целых чисел и натуральных чисел полями не являются. В данной книге рассматриваются только поля C, R и Q.
Ь. Модули, аргументы и деление комплексных чисел.
Пусть z = z + iy е C, x,y е R. Действительное неорицательное число |z| = Х2х² + y², также обозначаемое р(z), называетея модулем z; т.е. |z| = р(z) -расстояние от точки z до начала координат O(0; 0). Заменгм, что |z| = 0 в точности тогда, когда z = 0, причем в случае z = x е R модуль числа совпадает с обычным арифметическим модулем действительного числа.
Непосредственно проверяются следующие свойства: z = z, z 1 ± z2 = z 1 ± z2, zz = z 1 z2;
I z 1= |z|, 1 ± z 2 | < \z 11 + 2 |, 1 z 2 | = 1 2 |,

z + z = 2Re z = 2x, z — z = i2Im z = i2y, z • z = |z|² = x² + y².
Если р,р - полярные координаты точки z = x+iy комплексной плоскости, то |z| = р, а полярный угол р, определенный с точностью до 2як, k е Z, называется аргументом числа z и обозначается Arg z.
Единственное значение аргумента р = Argz, лежащее в полуинтервале (—я, я] называется главным значением аргумента числа z и обозначается через argz, причем Argz = arg z + 2як, k е Z. Ясно, что x = |z| cos р, y = |z| sin р.
Главное значение аргумента вычисляется по формуле


z 1 _ 11
z 2        2 | .

          arctg( y/x),       x > 0,                                 
          arctg( y/x) + я,   x < 0, y > 0,                          
arg z = < arctg( y/x) --- я, x < 0, y < 0,                   (1.1.4)
          я/2,               x = 0, y > 0,                          
          ---я/2,            x = 0, y < 0.                          

Таким образом, аргумент ненулевого комплексного числа z определяется с точностью до слагаемого, кратного 2я:

Arg z = arg z + 2як, к е Z.

с. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа и их свойства.
Для любого числа y е R обозначггм через <"у комплекс ное число cos y + i sin y е C. Так как 'у 'y | = cos² y + sin² y = 1, то для любого y е R чиело eiy лежит на единичной окружности радиуса 1 с центром в точке 0 = 0+i0. При этом arg eiy = y. С другой стороны, любому углу y е (—я, я] соответствует единственное комплексное число сгу.

Комплексные числа и комплексная плоскость

Для числа z = x + iy имеются записи в виде z = |z| (cos p + i sin p и z = Це*,
называемые тригонометрической (полярной) и показательной формами числа z. При этом запись z = x + iy называется алгебраической формой числа z.
Непосредственно проверяются следующие свойства.


    • z i z 2 = lz i \eⁱf¹ lz 2 lei^² = lz 1 ||z 2 lei (?¹⁺? 2),

   z 1
• —
   z2

lz1\eⁱf¹ lz 2 leiv

zⁿ

(\z\e*>)ⁿ = \z\eⁱⁿf.

Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа выполняются по формулам Муавра:

zⁿ = ᵣⁿ (cos np + i sin np), n 6 Z,

(1.1.6)

^-r fcos P^^nk + i sin P±^nk ) nn

,k = 0 ,n - 1 ,n 6 N.

(1.1.7)

Значения корня делят окружность с центром в начале координат радиуса n/r на n дуг одинаковой длины.

Формулой р(z 1, z₂) = \z 1 — z₂1 в C можно задать расстояние р(z 1, z₂) между двумя комплексными числами z 1 = x 1 + iy 1 1z z₂ = x₂ + iy₂.

Тригонометрическая форма удобна при выполнении умножения и деления:

z 1 • z2 = r 1 r2 [cos(p 1 + p2) + i sin(p 1 + p2)] ,

                    — = — [cos(p 1 — p2) + i sin(p 1 — p2)], z2    r2
zpp zj = rj(cos pj + i sin pj), pj = Arg zj, rj = \zjl, j = 1, 2.

d. Пример. Для чисел z 1 =2 + 3i и z₂ = 3 — i записать в алгебраической форме комплексные числа

1) z 1(z 1 + 2z2);

2)

3)

z 1 + 2 z 1
   z 2  ;
z 2 — 2 z 2
   z 1  ’
Ниже мы используем рассмотренные выше простейшие свойства ком-

плексных чисел.

1) z 1(z 1 + 2z2) — z 1 z 1 + 2z 1 z2 — 11² + 2z 1 z2 — 2² + 3² + 2(2 — 3i)(3 — i) —

= 13 + 2(6 — 2 i — 9 i + 3 i²) = 13 + 2(3 — 11 i) = 19 — 22 i.

= lz 1 llz 2 lei (? ¹ -? ²),

nz =

<

Комплексные числа и действия над ними

11

2) Домножая числитель и знаменатель на z2, получим

   z 1 + 2 z i (z i + z i + z i) z 2 (2 Re z 1 + z 1) z 2 (4 + 2 — 3 i )(3 + i)
      z2           z2z2              \z2 |²         3² + ( — 1)²

= —(18 + 6 i — 9 i — 3 i²) = —(21 — 3 i) = —(7 — i).
10v                '  10v ' 10v ¹
3) Домножая числитель и знаменатель на z 1, получим


  z2 — 2z2      (z2 —  z2 — z2)zi    (2 i Imz2   — z2)z 1   (—2 i  — 3 —  i)(2 — 3i)
     z 1             z 1 z 1                \z 11²                2² + 3²

= — (1 + i)(2 — 3i) = — -3(2 — 3i + 2i — 3i²) = — A(5 — i). >


        1.1.2 Подмножества комплексной плоскости

а. Последовательности. Любое счетное множество fz,,}/ ₘ = zₘ,zₘ+1,... (не обязательно разных) чисел zₙ G C, называется последовательностью с общим или п-ым членом zₙ, начинающимся с члена zₘ с целочисленным номером m G Z. Чаще всего мы будем рассматривать {zn}<k=0 I{ {zn}k=1-
Если для любого числа R > 0 существует такое натуральное число N, что для всех натуральных п > N члены последовательности {zₙ}, п = 1, те удовлетворяют условию |zₙ| > R, то последовательность называется неограниченно возрастающей.
Ь. Бесконечно удаленная точка, полная комплексная область и сфера Римана
По определению полагаем, что любая неограниченная последовательность сходится к единственному элементу z = те, называемому бесконечно удаленной точкой.
Полной или расширенной комплексной плоскостью называется множество C = C U{z = те}, полученное из ком плексной плоскости C добавлением к ней бесконечно удаленной точки z = те.
Геометрической иллюстрацией расширенной комплексной плоскости является сфера Римана, которой называется сфера R радггуса 1, лежащая на комплексной плоскости C и касающаяся C южным полюсом S в точке O(0; 0). Северный полюс сферы N R соединим с произвольной точкой z G C. Соединяющий отрезок пересечет плоскость в точке z' G C. Имеется взаимно-однозначное соответствие z ■& z' между сферой Римана R и расширенной плоскостью C, где северному полюсу N соответствует бесконечно удаленная точка те.

Комплексные числа и комплексная плоскость

Сфере Римана с выколотым полюсом N соответствует комплексная плоскость C; в этом случае соответствие z ^ z', z G S \ N, называется стереографической проекцией из R\ N нa C.
При обратном соответствии C ^R. числа с одинаковым аргументом p = const (лучи из O нa C) соответствуют меридианам на R, а числа с одинаковым модулем р = const (окр}окности на C с центром O) - параллелями на R.
с.  Re (z — z₀) = a - прямая, параллельная мнимой оси Oy и проходящая через точку (a + x₀; 0), где z₀ = x₀ + iy₀;
d.  Im (z — z₀) = b - прямая, параллельная действительной оси Ox и проходящая через точку (0; b + у₀), где z₀ = x₀ + iy₀;
е.  \z — z₀1 = R, (R > 0) - окружность с центром в точке z₀ = (x₀,у₀) радиуса R;
f.  arg(z — z₀) = p - луч с началом в точке z₀ = (x₀, у₀), идущий под углом p к положительному направлению действительной оси Ox (—п < p < п);
g.  \ z — z1 \ = \ z — z2 \ - геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек z 1 и z2, т.е. прямая, проходящая через середину отрезка, соединяющего точки z 1 11 z2 и перпендикулярная ему;
h.  Re (a(z — z₀)) = 0 - уравнение прямой, проходящей через точку z₀ и перпендикулярной вектору a = (A, B) = A + iB-,
i.  Im (a(z — z₀)) = 0 - уравнение прямой, проходящей через точку z₀, параллельной вектору a = (A, B) = A + iB-,
j.) \z — z 1 \ + ^ — z2 \ = 2a - геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух заданных точек z 1 и z2 есть величина постоянная 2 a > 0, 2 a > \z 1 — z 2 \, т.е. эллипс с фо кусами в точках z 1 и z 2. В частности, x 2 у 2
при z 1 = — c, z2 = c > 0 уравнение эллипса примет вид щ- + -щ- = 1, где ___________                                         a 2  b 2
b = ^ a 2 — c 2 (a > c);

Кривые п области

13

к.  ||z — z11 — \z — z21| = 2a - геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух заданных точек z1 11 z2 есть величина постоянная 2a > 0, 2a < \z 1 — z21, т.е. гипербола с фокусами в точках z 1 11 z2. В частности, при z 1 = — c, z2 = c > 0 уравнение гиперболы примет вид ₓ 2 у 2    '         _______ ‘
— — — = 1, где b = c2c2 — a2 (c > a);
a 2 b 2
1.  \z — z 11 — \z — z21 =2a - ветвь гиперболы, которая ближе к точке z2;
m.  |Re (a(z — z 1))| = |a| • \z — z₀1 - геометрическое место точек, для которых расстояние до фиксированной точки zо (называемой фокусом) равно расстоянию до фиксированной прямой Re (a(z — z 1)) = 0 (называемой директрисой), т.е парабола, Re (a (z ₀ — z 1)) = 0. В части ости, при z ₀ = р/2, z 1 = — р/2, a = 1 получим каноническоу уравнение параболы у2 = 2px.



        1.1.3   Кривые и области

Пусть параметр t пробегает отрезок [ а, в ] ос и Ox и отображение y отрезка [а, в] в комплексную плоскость C задается непрерывными функциями x(t),у(t): [а,в] ^ R, т.е. y(t) = x(t) + iy(t) G C. Тогда отображение y (a также часто и его образ на плоскости C) называются (жордановой) кривой на плоскости C.
Кривая y называется гладкой, если на отрезке [а,в] функции x(t) 11 у(t) имеют непрерывные производные x' (t) 11 у' (t) (в концевых точках а, в существуют правая и левая производные), которые не равны 0 для всех t G [а,в]. Кривая называется кусочно-гладкой, если ее можно разбить точками на конечное число гладких частей.
Кривая называется простой дугой, если отображение y переводит разные точки отрезка [а, в] в разные точки в C. Если же точки кривой, соответствующие t = а и t = в совпадают, а все остальные точки между собой различны и отличны от M(y(а),y(в), то кривая называется простым замкнутым контуром или просто контуром.
Замечание. В дальнейшем, в нашем тексте слово "контур"означает "кусочно-гладкий простой замкнутый контур а слово "кривая"означает "кусочно-гладкая кривая". Незамкнутые гладкие кривые предполагаются простыми дугами.
Точка z₀ G M С C называется внутренней точкой множества M, если существует окрестность этой точки, целиком принадлежащая множеству M. Множество M называется открытым, если каждая ее точка является внутренней точкой M. Точка z₀ называется граничной точкой множества M С C, если в любой ее окрестности есть точки, принадлежащие M и не принадлежащие ему. Множество M называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.